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本仓库的数学笔记遵循以下统一格式，所有输出必须遵守：
# 主标题
## 1. 开篇总结 (Executive Summary) ← 简述核心内容与关键洞察
## 2. 核心定义与公理体系 ← 定义、公理、分类表格
## 3. 核心概念深入分析 ← 重要概念的详细讨论
## 4. 定理与证明 ← 定理陈述 + 完整证明
## 5. 例题与习题详解 ← 分步解答
$...$：如 $\mathbb{Z}_p$、$\forall a \in R$$$...$$ 并单独成行\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \forall, \exists, \implies, \iff\cap, \cup, \subseteq, \in, \setminus>（如单位元 vs 单位的区分）--- 分隔主要章节环就是有加法和乘法的集合，加法要是阿贝尔群，乘法要有结合律，还要有分配律
整环是没有零因子的交换幺环
域就是交换除环
格式化为带表格分类、LaTeX 公理列表、关键辨析 blockquote 的完整文档，参考本仓库中 docs/math/abstract_algebra/ring.md 的风格。