Paper Derivation HTML

1. 标题与出处
   论文标题、作者、年份、DOI/链接；本页说明「推导梳理，非逐字翻译」。

2. 符号表（Notation）

   • 所有出现的数学符号集中列出，含下标/上标含义。
   • 格式示例：(z_t)：(t) 为时间索引；(F(z))：(z) 为状态向量；(\epsilon_t)：试次内噪声。
   • 若同一符号在多处有不同含义，分条注明「在 X 节指……」

3. 基础假设（Assumptions）

   • 推导所依赖的前提：例如「输入为简单输入」「观测噪声高斯独立」「线性时变近似」等。
   • 每条用一句话 + 必要时对应公式编号。

4. 推导主线（按 section 组织，连续推导）

   • 按逻辑块划分为多个 section（例如「从状态方程到离散残余」「潜在变量与估计」「时间常数与频率」等），每个 section 对应一段相对完整的推导链。
   • 每个 section 开头：用一小段集中说明本节条件与基础想法（依赖的假设、从哪一步出发、要得到什么），便于读者进入状态；不要在每个公式前重复「条件 / 推理 / 结论」。
   • 每个 section 主体：连续公式推导——用公式与简短衔接语（如「代入得」「由上式」「因此」）串联，保持阅读流畅；公式可带编号（与论文对应），中间用自然段或一两句说明过渡。
   • 若论文存在明显跳步，在相应位置插入一句「补充：……」或一小段中间步骤，然后继续推导，不打断整体连贯性。

5. 省略的证明

   • 若某结论来自长证明，并且与逻辑主线没有关系，只写「结论：……（Eq. X）」，并一句说明「证明见原文 Appendix X」或「由 Y 定理可得」，不展开证明过程。

6. 公式逻辑小结（可选）

   • 用简短条目或小图（如 Mermaid/文字流程图）概括：从假设到最终形式的主线（例如「状态方程 → 离散化 → 残余定义 → 线性近似 → 得到 A_t」）。

公式与 LaTeX 规范

• 一律使用 LaTeX 书写公式，在 HTML 中通过 KaTeX/MathJax 渲染。
• 行内公式：\( ... \) 或 $ ... $（依所选引擎）；独立公式：\[ ... \] 或 $$ ... $$，并带编号（如 (1)）。
• 下标/上标：在符号表中必须解释清楚（例如 (x_i) 中 (i) 为神经元索引，(t) 为时间）。
• 与论文一致：若论文用 (\dot{z})，HTML 中同样用 \dot{z}；若用 (\mathbf{z})，保留粗体。

推导梳理原则

1. 按 section 组织，section 内连续推导：每个 section 开头交代条件与思路，随后是连贯的公式链，需要的话加入自然语言进行连贯，以保证阅读流畅。
2. Section 开头集中交代：本节依赖的假设、从哪一步/哪一式出发、本段推导要得到什么结论，写在一段内即可。
3. 补全跳步：若论文从 Eq.(3) 直接跳到 Eq.(5)，在相应位置补一两行中间式或一句「补充：……」，再继续公式流。
4. 符号一致且可查：全文符号与符号表一致；新符号首次出现时可简短提醒「见符号表」。
5. 证明从简：定理/引理的证明只保留「结论 + 出处」，不展开推导细节。
6. 逻辑优先：目标是「公式的逻辑链」清晰、可连续阅读，而不是把每一步都拆成固定三块。

HTML 与排版

• 自包含：所需 CSS 内联或内嵌；若用 KaTeX/MathJax，可用 CDN 链接（常见即可）。
• 结构清晰：用 <section> 或 <h2> 区分「符号表」「假设」、各推导 section、「省略证明」「小结」。
• 每个推导 section：开头用一段（如 <p class="section-intro">）写本节条件与思路；主体用段落 + 公式连续排列（可用 <div class="derivation-block"> 包住整段推导），不必每式一个 step 框。
• 移动端可读：字体与公式大小适中，避免公式溢出。

工作流建议

1. 通读论文中与目标推导相关的章节与附录，标出主要等式与假设。
2. 列出所有涉及符号，建符号表（含下标）。
3. 按逻辑块划分 section（如：状态方程→离散化→残余→线性化→(A_t)；潜在变量与估计；时间常数/频率等）。
4. 每个 section：先写开头段（条件 + 本节要得到的结论），再写连续推导（公式 + 简短衔接语），跳步处用「补充」一句带过。
5. 将长证明替换为「结论 + 出处」。
6. 生成 HTML：套入上述结构，公式用 LaTeX，用 KaTeX/MathJax 渲染。
7. 检查：符号表是否覆盖全文、各 section 内推导是否连贯、LaTeX 是否无误。

示例片段（结构）

<section id="derivation">
  <h2>推导</h2>

  <h3>3.1 从状态方程到离散残余动力学</h3>
  <p class="section-intro"><strong>条件与思路</strong>：设状态满足论文 Eq.1 \(\dot{z}_t = F(z_t) + u_t + \epsilon_t\)，且为简单输入（\(u_t\) 不随试次变化）。对单试次与条件平均分别离散化后相减定义残余 \(\tilde{z}_t = z_t - \langle z_t \rangle\)，则 \(u_t\) 在相减时消去；再在 \(\langle z_t \rangle\) 处对 \(F\) 一阶展开，即得离散时间线性残余动力学 \(A_t = I + \Delta t J_t\)。</p>
  <div class="derivation-block">
    <p>单试次与条件平均的离散更新（Euler 步长 \(\Delta t\)）为（论文 Eq.4–5）：</p>
    <p>\[ \langle z_{t+1} \rangle = \langle z_t \rangle + \Delta t (F(\langle z_t \rangle) + u_t), \quad z_{t+1}^k = z_t^k + \Delta t (F(z_t^k) + u_t + \epsilon_t). \]</p>
    <p>定义 \(\tilde{z}_t^k = z_t^k - \langle z_t \rangle\)，两式相减后 \(u_t\) 项抵消，得到</p>
    <p>\[ \tilde{z}_{t+1}^k = \tilde{z}_t^k + \Delta t \bigl( F(z_t^k) - F(\langle z_t \rangle) + \epsilon_t \bigr). \]</p>
    <p>在 \(\langle z_t \rangle\) 处一阶展开 \(F(z_t^k) = F(\langle z_t \rangle + \tilde{z}_t^k) \approx F(\langle z_t \rangle) + J_t \tilde{z}_t^k\)（\(J_t = \nabla F|_{\langle z_t \rangle}\)），代入得</p>
    <p>\[ \tilde{z}_{t+1} = (I + \Delta t J_t) \tilde{z}_t + \Delta t \epsilon_t = A_t \tilde{z}_t + \Delta t \epsilon_t, \qquad A_t = I + \Delta t J_t. \]</p>
    <p><strong>补充</strong>：论文未显式写「相减消去 \(u_t\)」；在简单输入下因 \(u_t\) 与试次无关，故不进入残余方程，\(A_t\) 只含 \(F\) 的 Jacobian。</p>
  </div>

  <h3>3.2 潜在变量形式与估计</h3>
  <p class="section-intro"><strong>条件与思路</strong>：观测为高维或跨实验对齐后的残余；假设存在低维潜在状态 \(x_t\) 服从同一动力学 \(A_t\)，观测为 \(C x_t + \eta_t\)。本节给出 Eq.11 形式及估计思路，具体 SSID/2SLS 见附录。</p>
  <div class="derivation-block">
    <p>设 \(x_{t+1} = A_t x_t + \epsilon_t\)，\(\tilde{z}_t = C x_t + \eta_t\)（论文 Eq.11）。\(A_t\) 与动力学子空间由 SSID + 工具变量回归估计，证明见 Supplementary Math Note A。</p>
  </div>
</section>

使用本 skill 时，以「公式逻辑链」为核心，按 section 组织、section 内连续推导：每 section 开头交代条件与思路，主体为连贯的公式与衔接语，补全跳步、统一符号、省略冗长证明，并输出正确 LaTeX 的 HTML。