Reconstruct key derivations from a model-oriented paper into a self-contained HTML document with LaTeX math rendered via KaTeX/MathJax, filling in skipped steps, unifying notation, and keeping the formula logic chain. Use when the user wants a derivation rendered as standalone HTML (not Markdown), wants intermediate equations filled in, or wants notation explained clearly. Triggers: 论文推导 html, 公式推导 html, derivation html, math derivation, 推导网页, 推导单页, render derivation as html. For Markdown/Obsidian output use paper-derivation-markdown; for full paper analysis use paper-analyze.
将论文中的关键推导步骤梳理成「条件 → 结论」的逐步推导,输出为自包含 HTML,公式用 LaTeX 正确渲染,便于精读模型类论文的推导逻辑。
当用户:
就使用本 skill。
[year]_[short_title]_derivation.html30_Reading/Derivations/,或用户指定)标题与出处
论文标题、作者、年份、DOI/链接;本页说明「推导梳理,非逐字翻译」。
符号表(Notation)
基础假设(Assumptions)
推导主线(按 section 组织,连续推导)
省略的证明
公式逻辑小结(可选)
\( ... \) 或 $ ... $(依所选引擎);独立公式:\[ ... \] 或 $$ ... $$,并带编号(如 (1))。\dot{z};若用 (\mathbf{z}),保留粗体。<section> 或 <h2> 区分「符号表」「假设」、各推导 section、「省略证明」「小结」。<p class="section-intro">)写本节条件与思路;主体用段落 + 公式连续排列(可用 <div class="derivation-block"> 包住整段推导),不必每式一个 step 框。<section id="derivation">
<h2>推导</h2>
<h3>3.1 从状态方程到离散残余动力学</h3>
<p class="section-intro"><strong>条件与思路</strong>:设状态满足论文 Eq.1 \(\dot{z}_t = F(z_t) + u_t + \epsilon_t\),且为简单输入(\(u_t\) 不随试次变化)。对单试次与条件平均分别离散化后相减定义残余 \(\tilde{z}_t = z_t - \langle z_t \rangle\),则 \(u_t\) 在相减时消去;再在 \(\langle z_t \rangle\) 处对 \(F\) 一阶展开,即得离散时间线性残余动力学 \(A_t = I + \Delta t J_t\)。</p>
<div class="derivation-block">
<p>单试次与条件平均的离散更新(Euler 步长 \(\Delta t\))为(论文 Eq.4–5):</p>
<p>\[ \langle z_{t+1} \rangle = \langle z_t \rangle + \Delta t (F(\langle z_t \rangle) + u_t), \quad z_{t+1}^k = z_t^k + \Delta t (F(z_t^k) + u_t + \epsilon_t). \]</p>
<p>定义 \(\tilde{z}_t^k = z_t^k - \langle z_t \rangle\),两式相减后 \(u_t\) 项抵消,得到</p>
<p>\[ \tilde{z}_{t+1}^k = \tilde{z}_t^k + \Delta t \bigl( F(z_t^k) - F(\langle z_t \rangle) + \epsilon_t \bigr). \]</p>
<p>在 \(\langle z_t \rangle\) 处一阶展开 \(F(z_t^k) = F(\langle z_t \rangle + \tilde{z}_t^k) \approx F(\langle z_t \rangle) + J_t \tilde{z}_t^k\)(\(J_t = \nabla F|_{\langle z_t \rangle}\)),代入得</p>
<p>\[ \tilde{z}_{t+1} = (I + \Delta t J_t) \tilde{z}_t + \Delta t \epsilon_t = A_t \tilde{z}_t + \Delta t \epsilon_t, \qquad A_t = I + \Delta t J_t. \]</p>
<p><strong>补充</strong>:论文未显式写「相减消去 \(u_t\)」;在简单输入下因 \(u_t\) 与试次无关,故不进入残余方程,\(A_t\) 只含 \(F\) 的 Jacobian。</p>
</div>
<h3>3.2 潜在变量形式与估计</h3>
<p class="section-intro"><strong>条件与思路</strong>:观测为高维或跨实验对齐后的残余;假设存在低维潜在状态 \(x_t\) 服从同一动力学 \(A_t\),观测为 \(C x_t + \eta_t\)。本节给出 Eq.11 形式及估计思路,具体 SSID/2SLS 见附录。</p>
<div class="derivation-block">
<p>设 \(x_{t+1} = A_t x_t + \epsilon_t\),\(\tilde{z}_t = C x_t + \eta_t\)(论文 Eq.11)。\(A_t\) 与动力学子空间由 SSID + 工具变量回归估计,证明见 Supplementary Math Note A。</p>
</div>
</section>
使用本 skill 时,以「公式逻辑链」为核心,按 section 组织、section 内连续推导:每 section 开头交代条件与思路,主体为连贯的公式与衔接语,补全跳步、统一符号、省略冗长证明,并输出正确 LaTeX 的 HTML。